4.7 Probability formulae

1. 加法公式（Addition Formula）

对于任意两个事件A和B，并集概率与交集概率的关系：

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

实际含义：至少一个事件发生的概率 = 两个事件各自发生的概率之和减去两者同时发生的概率。

几何解释：在维恩图中，并集区域 = A区域 + B区域 - 交集区域。

2. 乘法公式（Multiplication Formula）

条件概率\( P(B|A) \)（在A发生时B发生的概率）与交集概率的关系：

\[P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \implies P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A)\]

实际含义：两个事件同时发生的概率 = 条件概率 × 无条件概率。

独立事件特例：若A、B独立，则 \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)。

3. 公式间的关系

加法公式重排：\( P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) \)

乘法公式重排：\( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \)

综合应用：两个公式可以结合使用解决复杂概率问题。

4. 独立性判断

通过比较交集概率与独立情况下的乘积来判断事件独立性：

独立性准则：事件A和B独立当且仅当 \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)

等价条件：\( P(A|B) = P(A) \) 且 \( P(B|A) = P(B) \)

1. 加法公式应用技巧

互斥事件特例：若A、B互斥，则 \( P(A \cap B) = 0 \)，公式简化为 \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)

几何理解：避免重复计算重叠区域，就像计算两个集合的并的元素个数

实际应用：计算至少发生一个事件的概率

2. 乘法公式应用技巧

独立事件特例：若A、B独立，则 \( P(B|A) = P(B) \)，公式简化为 \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)

条件概率理解：条件概率是给定条件下重新计算的概率

实际应用：计算两个事件同时发生的概率

3. 公式组合应用技巧

逐步求解：

• 先用乘法公式求交集概率
• 再用加法公式求并集概率
• 结合独立性判断进行验证

实际问题建模：

• 识别事件间的关系（独立/相依）
• 选择合适的公式进行计算
• 验证结果的合理性

4. 独立性判断技巧

计算方法：

• 计算独立情况下的乘积 \( P(A) \times P(B) \)
• 与实际交集概率 \( P(A \cap B) \) 比较
• 相等则独立，不相等则相依

等价判断：

• \( P(A|B) = P(A) \) 且 \( P(B|A) = P(B) \)
• 两个条件可以互相推导

概率公式的关键要点

1. 公式区分：清楚区分加法公式和乘法公式的用途

2. 独立性判断：熟练掌握独立性的判断方法和等价条件

3. 公式重排：学会从不同角度重排公式求解未知量

4. 实际应用：学会将实际问题转化为公式应用

5. 验证检查：确保所有概率计算的合理性和一致性